KARTU  AJAIB

 

Anak timbangan

Masalah :

Seseorang akan menimbang barang dengan bobot dari 1 ons sampai dengan 6 kilogram. (atau  60 ons). Orang ini sudah mempunyai timbangan; tetapi belum mempunyai anak timbangan.

Anak timbangan yang diinginkan adalah setiap anak timbangan yang dimilikinya hanyalah sebuah, tetapi mampu untuk mengukur berat benda yang diinginkan , dengan catatan bahwa benda yang diukur hanyalah yang berukuran bilangan bulat.

Buatlah disain untuk menentukan berat dari anak-anak timbangan yang harus dimilikinya dan buatlah ilustrasi bagaimana melakukan pengukuran untuk setiap beratnya..

Penyelesaiannya adalah

1. Paling sedikit anak timbangan yang harus dimilikinya adalah 2 buah yang bisa untuk mengukur berat 1 ons , 2 ons, dan 3 ons yaitu dengan menggunakan  anak timbangan 1 ons dan 2 ons
2. Untuk mengukur 4 ons perlu anak timbangan yang lain.      (Untuk selanjutnya satuan ons tak ditulis lagi )  Jadi dengan ketiga anak timangan tersebut bisa untuk mengukur :  1,  2,  3 = 2+1,4,   5 = 4+1,  6 = 4+2,  7 = 4+2+1 
3. Untuk mengukur 8 diperlukan anak timbangan baru.
4. Sehingga dengan 4 anak timbangan ini bisa mengukur :  8,  9 = 8+1,   10 = 8+2,   11= 8+2+1,   12 = 8+4, 

          13 =  8+4+1;   14 = 8+4+2 ;   15 = 8+4+2+1

5.  Untuk mengukur 16 diperlukan anak timbangan baru. Sehingga dengan 5 bua  anak timbangan bisa untuk mengukur : 17 =       16+1, 18 = 16+2,…dan  seterusnya….. 31 = 16+8+4+2+1

6. Untuk mengukur 32 diperlukan anak timbangan baru. Sehingga dengan 6 buahanak  timbangan bisa mengukur  33 = 32+1,  34 = 32+2, …. Dan   seterusnya………..60 = 32+16+8+4.

7.  Masalah telah terselesaikan.

Jadi anak timbangan yang diperlukan 6 buah dengan berat anak timbangan masing-masing 1, 2, 4, 8, 16, dan 32 ons.

Dengan keenamnya cukup untuk mengukur sampai 6 kg atau 60 ons.

Berikut ini adalah tabel ukuran anak timbangan yang diperlukan dalam mengukur berat benda yang diinginkan.

TABEL ANAK TIMBANGAN YANG DIGUNAKAN

 

Berat yang ditimbang

Berat anak timbangan (ons)

Berat yang ditimbang

Berat anak timbangan (ons)

1

2

4

8

16

32

1

2

4

8

16

32

1

x

32

x

2

x

33

x

x

3

x

x

34

x

x

4

x

35

x

x

x

5

x

x

36

x

x

6

x

x

37

x

x

x

7

x

x

x

38

x

x

x

8

x

39

x

x

x

x

9

x

x

40

x

x

10

x

x

41

x

x

x

11

x

x

x

42

x

x

x

12

x

x

43

x

x

x

x

13

x

x

x

44

x

x

x

14

x

x

x

45

x

x

x

x

15

x

x

x

x

46

x

x

x

x

16

x

47

x

x

x

x

x

17

x

x

48

x

x

18

x

x

49

x

x

x

19

x

x

x

50

x

x

x

20

x

x

51

x

x

x

x

21

x

x

x

52

x

x

x

22

x

x

x

53

x

x

x

x

23

x

x

x

x

54

x

x

x

x

24

x

x

55

x

x

x

x

x

25

x

x

x

56

x

x

x

26

x

x

x

57

x

x

x

x

27

x

x

x

x

58

x

x

x

x

28

x

x

x

59

x

x

x

x

x

29

x

x

x

x

60

x

x

x

x

30

x

x

x

x

31

x

x

x

x

x

Marilah  kita daftar berat yang ditimbang yang menggunakan anak timbangan 1 ons,

Untuk selanjutnya satuan ons diabaikan. Dan ditulis  : “Yang menggunakan  1”, Yang menggunakan 2, dan seterusnya.

Daftar yang menggunakan 1  :

      1  3   5   7   9   11  13   15   17  1 9   21   23   25   27   29   31   33    37  39   41   43   45   47   49   51   53   55   57   59 

Daftar yang menggunakan  2  :

            2   3   6   7   10   11   14   15   18   19   22   23   26   27   30   31   34   35  38   39   42   43   46   47   50   51   54   55   58   59  

Daftar yang menggunakan  4  :

            4   5   6   7   12   13   14   15   20   21   22   23   28   29   30   31   36   37   38   39   44   45   46   47   52   53   54   5560   61  

Daftar yang menggunakan  8  :

            8   9   10   11   12   13   14   15   24   25   26   27   28   29   30   31   40   41   42   43   44   45   46   47   56   57   58   59   60   61  

Daftar yang menggunakan  16  :

            16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   30   31  48   49   50   51   52   53   54   55   56   57   58   59   60   61  

Daftar yang menggunakan  32  :

            32   33   34   35   36   37   38   39   40   41   42   43   44   45   46   47 

            48   49   50   51   52   53   54   55   56   57   58   59   60   61     

Kartu ajaib

 

Suisunlah ke enam daftar yang menggunakan anak-anak timbangan diatas dalam kertas karton yang bisa digunakan sebagai kartu dalam permainan ini.

Sebagai contoh dalam kartu yang    memuat daftar yang menggunakan 1, seperti pada kartu disamping. Pekerjaan ini bisa dilakukan di kelas secara kelompok untuk memperlancar siswa dalam menggunakan  Excel. Misal di bagian atas dari kartu diberi identitas nama kelompok dan dibagian bawah dari kartu adalah anggota kelompok. Bisa juga dilengkapi dengan gambar yang menarik. Kartu disamping ini adalah contoh. Jadi setiap kelompok harus memiliki ke-enam daftar-daftar bilangan tersebut diatas. Guru bersama siswa bisa membuat kartu yang lebih menarik.

    

KLP. BONBIN
1	3	5	7	9
11	13	15	17	18
21	23	25	27	29
31	33	35	37	39
41	43	45	47	49
51	53	55	57	59
Angg : Ani, Tony, Aan, Deni,               Susan

 

Permainan kartu ajaib

1.   Suruhlah temanmu untuk membatin sebuah bilangan dari 1 sampai dengan 60 ; yang

      bisa dikembangkan sampai 63; (susun sendiri tambahan untuk 61, 62 dan 63, Yaa !!) 

2.   Tunjukkan satu-persatu semua kartumu kepada temanmu yang diajak bermain.

3.   Tanyakan apakah dalam kartu yang  ditunjukkan tercantum bilangan yang dibatin.

4.   Kumpulkan kartu yang dijawab : “ya” .

5   Dengan jawaban ini kamu sudah bisa menerka jawabnya.

Menerka jawaban.

Dalam tulisan ini tidak akan diberi keterangan  secara jelas, tetapi agar menjadikan bahan untuk diskusi setiap kelaompok.

Perhatikan tanda “x” dalam “Tabel Anak Timbangan yang Digunakan”.

Misal 

       1.  Seseorang membatin bilangan 33. Dalam table tersilang  pada kolom  1 dan 32

            Perhatikan bahwa 33 = 1+32

       2   Orang lain membatin bilangan 46. Dalam table tersilang pada kolom  2, 4, 8, 

      dan  32 , Perhatikan bahwa 46 = 2+4+8+32

3. Cobalah dirimu sendiri untuk membatin beberapa bilangan.

Kolom yang disilang pada tabel,  terletak di bagian mana dari  kartu yang  dijawab “ya”?

4. Sekarang kamu sudah bisa menerka bilangan yang dibatin temanmu.
5. Apabila kamu masih belum yakin atau belum jelas dalam menemukan jawaban, bisa ditanyakan dengan mengirim e-mail ke alamat :   h161240p@yahoo.co.uk  

 

PERKALIAN CEPAT Seri 5

5.1.   Perkalian dengan pengali 11; 111;  atau deretan angka 1

           Untuk lebih memudahkan kupasan, ambil saja contoh perkalian dengan pengali 11 (deretan dua buah angka 1).

          Perhatikan cara yang cepat dalam mencari hasikalinya. Hitungan dimulai dari angka terakhir dan diakhiri dengan angka yang pertama . Demikian pula dalam menulis hasil dimulai dari satuan, puluhan, ratusan dan seterusnya.

 Contoh 5.1.1.

4785  ×  11  =  52635  ;   Tulis angka terakhir,   5

                                                 5 + 8 = 13 ;   tulis 3,   simpan 1

                                                8 + 7 = 15 ;   ditambah simpanan 1

                                                             menjadi 16  tulis 6,  simpan  1

                                              7 + 4 = 11;   ditambah simpanan 1

                                                           menjadi 12  tulis 2,  simpan 1

                                                           tulis angka pertama 4  

                                                          ditambah simpanan 1 = 5

                                            Jadi hasilkalinya     52635

 

Karena bilangannya dikalikan 11;  dimulai dari angka terakhir dari bilangan yang dikalikan , dilanjutkan dengan jumlah setiap dua angka dan diakhiri angka pertama.

 Dalam contoh 5.1.2. berikut pengalinya adalah 111; dimulai angka terakhir, dilanjutkan jumlah dua angka, diteruskan lagi jumlah setiap tiga angka dari bilangan yang dikalikan terus-menerus sampai selesai, selanjutnja jumlah dua angka pertama dan diakhiri dengan angka pertama.

 Demikian juga apabila suatu bilangan dikalikan 1111; dimulai dari satu angka, jumlah dua angka, jumlah tiga angka, jumlah empat angka terus-menerus sampai selesai; diteruskan jumlah tiga angka, jumlah dua angka dan terakhir satu angka yang pertama.

 Contoh 5.1.2.

 3579 × 111 = 397269  ;   Tulis angka terakhir, 9

                                                  9 + 7 = 16;   tulis 6 simpan 1

                                                 9 + 7 + 5 = 21;    ditambah simpanan

                                                 menjadi 22; tulis 2, simpan 2

                                                 7 + 5 + 3 = 15;  ditambah

                                                simpanan menjadi 17;                                                                                     

                                                ulis 7, simpan 1

                                                5 +  3 = 8;   ditambah simpanan

                                                 menjadi 9selanjutnya tulis angka

                                                 pertamanya yaitu  3.

                                                 Jadi hasilkalinya = 397269.

 

Contoh 5.1.3.

 Dengan cara yang hampir sama dengan cara diatas, kalau pengalinya 22

Caranya seperti perkalian dengan 11, tetapi setiap angka dikalikan 2 lebih dahulu

 457  ×  22 = 10054  ;     Pertama kali,  kalikan 2 pada setiap angka

                                      dari bil.  yang dikalikan,  →  (8)  (10)  (14)

                                      Tulis yang terakhir 14; tulis 4 ,   simpan 1

                                      14 + 10 = 24 ditambah simpanan jadi 25;                                                                                     

                                       tulis 5;   simpan 2

                                       10 + 8 = 18;   ditambah simpanan jadi 20;

                                      tulis 0;   simpan 2

                                      tulis angka pertama

                                      ditambah  simpanan 8+2=10

                                     Jadi hasilkalinya 10054.

 

5.2.    Perkalian pengali yang terdiri dari beberapa angka 9.

            Perhatikan cara cepat untuk menghitungnya.

           Contoh 5.2.1.

      86  × 999 = 85914   ;  Kurangi 86 (bilangan yang

                                        dikalikan)   dengan 1  ;  86 – 1 = 85

                                          Kurangi 999  dengan 85

                                          999 – 85 = 914 

                                         Hasilkalinya adalah bilangan  dengan

                                         kepala 85 dan ekornya 914.

                                         Jadi      8 6   ×  9 9 9  =  85914

 

Contoh 5.2.2.

 625  × 9999 = 6249375  ;   625 – 1 = 624  (sebagai kepala

                                 bilangan   9999 – 624 = 9375

                                Hasilkalinya adalah bilangan dengan                                                                                           

                               kepala 624 dan ekor 9375

                               Jadi   625  × 9999 = 6249375

 

Contoh 5.2.3.

4567 × 9999 = 45665433 ;     

                                            4567 – 1 = 4566    (sebagai kepala)

                                            9999 -4566 = 5433

                                     Hasilkalinya adalah bilangan dengan 

                                                  kepala 4566 dan ekornya 5433

                                                  Jadi 4567 × 9999 =  45665433.

 

Catatan.Perkalian dengan cara ini hanya bisa dilakukan apabila bilangan yang

              dikalikan  < dari pengalinya

                                                   

 

PERKALIAN CEPAT Seri 4

4.1. Perkalian dengan pengali 25

 Dalam mencari perkalian dengan pengali 25, pertama-tama bagilah bilangan yang dikalikan dengan 4.

Apabila pembagian tersebut tak bersisa, maka hasilkalinya sama dengan hasil bagi tersebut diikuti ekor 00.

Dan apabila sisa 1, ekor yang mengikutinya 25.

Apabila sisanya 2, ekornya adalah 50.

Sedangkan apabila sisanya 3 , diikuti ekor 75.

             

             

             

             

4.2. Perkalian dengan pengali 125.

 Hampir seperti diatas, pertama-tama bagilah bilangan yang dikalikan dengan 8.

Apabila dalam pembagian tersebut tak bersisa, hasilkalinya sama dengan hasilbagi tersebut kemudian diikuti ekor 00.

Apabila sisa 1 diikuti ekor 125, sisa 2 diikuti ekor 250, sisa 3 diikuti ekor 375, sisa 4 diikuti ekor 500, sisa 5 diikuti ekor 625, sisa 6 diikuti ekor 750, sisa 7 diikuti ekor 875.

Nampaknya bilangan-bilangan tersebut sulit dihafal; tetapi bisa diingat-ingat dengan mengalikan 125 dengan sisanya.

              

             

             

             

PERKALIAN CEPAT Seri 3

Perkalian dua buah bilangan yang masing-masing terdiri dari dua buah angka.

3.1.   Masing-masing berakhir angka 5

Hasilnya didapat dengan cara mengalikan angka pertama dari kedua bilangan tersebut yang selanjutnya ditambah dengan jumlah mereka yang sudah dibagi 2. Apabila pembagian yang terakhir ini tak bersisa, maka hitungan diatas diikuti dengan ekor 25. Dan apabila pembagiannya bersisa, maka sisanya diabaikan dan ekor yang mengikutinya menjadi 75.

             

3.2.   Masing-masing berakhir dengan angka yang sama

Kalikan puluhan dari bilangan yang dikalikan dengan pengalinya; demikian juga satuannya.  Hasil dari keduanya disusun  bersebelahan . Selanjutnya kalikan jumlah dari puluhannya  dengan satuannya yang mempunyai angka sama.

Perhatikan susunan  cara menyusun dari beberapa ciontoh berikut :

            

            

          

3.3.   Masing-masing berawal dengan angka yang sama.

 Kalikan puluhan dari bilangan yang dikalikan dengan pengalinya; demikian juga satuannya.  Hasil dari keduanya disusun  bersebelahan . Selanjutnya kalikan  puluhan yang mempunyai angka sama dengan jumlah dari satuannya

             

              

              

3.4.   Masing-masing sembarang bilangan.

            

           

            

PERKALIAN CEPAT Seri 2

Perkalian dua buah bilangan yang masing-masing terdiri dari dua angka

           2.1.    Masing-masing diawali angka yang sama dan jumlah angka terakhir 10.

 Hasilnya didapat dengan mengalikan angka pertama dengan angka pertama yang sudah ditambah 1 diikuti dengan ekornya yaitu hasil kali angka-angka terakhirnya

                    

            2.2.  . Masing-masing diakhiri angka yang sama dan jumlah angka awal 10.

Hasilnya didapat dengan cara mengalikan kedua angka pertamanya yang  selanjutnya ditambah dengan satuannya, dan diikuti ekor, yaitu hasilkali kedua  angka  terakhirnya.

                  

   

 

 

 

PERKALIAN CEPAT Seri 1

Pendahuluan .

Dalam artikel ini disusun suatu aturan perkalian dengan cara cepat; maksudnya bentuk-bentuk khusus dari perkalian yang bisa dikerjakan secara cepat diberikan resep dalam menghitungnya. Untukmempermudah dalam mengupas, dalam tulisan ini diberikan istilah kepala dan ekor suatu bilangan.

Kepala suatu bilangan adalah satu atau beberapa angka yang mengawali bilangan tersebut. Sedangkan ekor suatu bilangan adalah satu atau beberapa angka yang mengakhiri bilangan tersebut. Misal suatu bilangan mempunyai kepala 23 dan ekor 625, maka bilangan tersebut adalah 23625.

Artikel ini ditulis dalam beberapa seri, dengan maksud agar pembaca memahani setiap seri dengan baik .

Beberapa seri yang akan disajikan meliputi :

Seri 1 : Kuadrat sebuah Bilangan

Seri 2 : Perkalian dua buah bilangan yang masing-masing terdiri dari dua buah angka.

              • masing-masing diawali angka yang sama dan jumlah angka terakhir 10.

              • Masing-masing diakhiri angka yang sama dan jumlah angka awal 10.

Seri 3 : Perkalian dua buah bilangan yang masing-masing terdiri dari dua buah angka.

              • masing-masing berakhir angka 5

              • masing-masing berakhir dengan angka yang sama

              • masing-masing berawal dengan angka yang sama.

              • Masing-masing sembarang bilangan

Seri 4 : Perkalian dengan pengali 25 Perkalian dengan pengali 125

Seri 5 : Perkalian dengan pengali 11 atau 111 atau deretan angka 1 Perkalian dengan pengali 9 atau 99 atau deretan angka 9

Seri 1 Kuadrat sebuah bilangan

1.1. Dengan angka terakhir 5.

Kalikan kepala dari bilangan tersebut yaitu satu atau dua angka yang mendahului angka terakhir 5 dengan kepala yang sudah ditambah 1. Kuadrat bilangan itu adalah hasil perkalian tersebut yang diikuti ekor 25

1.1.    Dengan angka terakhir bukan 5.

Dalam hitungan ini ekornya adalah satuan dari bilangan itu.

Kuadratkan kepalanya, selanjutnya disebelah kanannya letakkan kuadrat dari ekor.(tulis kuadrat ekor dalam dua angka; misal 3 kuadrat ditulis 09 )

Hitunglah 2 kali kepala kali ekor. Letakkan hasilnya seperti pada contoh

PERSEGI  dan  PERSEGI PANJANG

Gambarlah persegi dengan ukuran yang sesuai dengan gambar dibawah ini  (sebaiknya digambar di kertas yang tebal).  

Selanjutnya potonglah  menjadi empat potong dengan ukuran seperti petunjuk  pada gambar.

                   

Kemudian susunlah potongan-potongan ini seperti pada gambar dibawahnya.

Susunan ini akan membentuk persegi panjang dengan panjang  13  satuan dan lebar  5  satuan panjang.  Sehingga luasnya sama dengan 65 satuan luas.

Padahal persegi panjang ini terbentuk dari persegi dengan luas 64 satuan luas.

Dengan  demikian berarti 64  sama dengan 65.

Apakah benar demikian ?  Selidiki dimana letak sesalahannya.

RINGKASAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA.

I.    PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Orde Satu Derajat Satu.

      1.   PD yang bisa dipisah peubahnya dan Reduksi ke bentuk tersebut.

       1.1.  PD yang dapat dipisah peubahnya.

  Bentuk Umum  :  M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0  dengan M (x,y) dan N (x,y)  

  bisa difaktorkan atas faktor-faktor yang memuat x saja dan/atau y saja.

          

           Sehingga :

                              

           Dan penyelesaian PD  :

                           

        1.2.  PD Homogeen. 

              Cirinya :  M (x,y) dan N (x,y)  homogeen dengan derajat yang sama.

              Penyelesaiannya :  substitusi   y = ux ;       

                                                    maka  dy = u dx + x du     

                                                    Selanjutnya PD bisa dipisah peubahnya.

         1.3.   M dan N adalah linear, tetapi tidak homogeen          

                 Jadi PD  yang berbentuk   : 

                M dx + N dy  = 0 menjadi  (a₁ x +b₁ y +c₁) dx + (a₂ x +b₂ y +c₂ )dy = 0

                Penyelesaian  :  

 ( i ) Apabila      

                                                  maka substitusi

           

           Selanjutnya PD menjadi :

           P (x,t) dx + Q (x,t) dt = 0  yang dapat dipisah peubahnya

( ii) Apabila     

                                                    

   maka   selesaikan dulu sistem persamaan :  

        a₁x + b₁y + c₁ = 0

      a₂x + b₂y + c₂ = 0

     didapat akar : x = h dan y = k.

          Kemudian  substitusi :

      x = u + h,  maka  dx = du

     y = v + k, maka  dy = dv

Selanjutnya PD menjadi PD Homogeen

1.4.  M berbentuk  y f (xy) dan N berbentuk  x g (xy)

        PD  :   M dx + N dy = 0 menjadi  y f (xy) dx +  x g (xy) dy = 0

       Dengan substitusi z = xy,  maka

                                  

          PD akan menjadi : P(x,z) + Q(x,z) = 0  ;  yang bisa dipisah peubahnya

  2.  PD EKSAK dan reduksi ke bentuk tersebut.

    2.1.     PD Eksak  :  M dx + N dy = 0  dengan ciri :

                                                   

          PD bisa ditulis sebagai :  d µ = M dx + N dy = 0,     dengan

                                           

                                            

            Kedua µ  ini identik;   selanjutnya bisa dicari  k(x)  atau  k(y).

            Kemudian didapat  µ

            Penyelesaian PD :        µ  = C

2.2.  Dengan mengalikan faktor integrasi  F  

          PD yang tidak eksak menjadi Eksak.

          PD  :  M dx + N dy = 0  tidak eksak

                      dan   PD  :  MF dx + FN dy =0 menjadi eksak.

       (i) Apabila

                                

                   maka  :                     

   (ii)  Apabila

                             

                  maka  :                      

2.3.    Apabila

                            

                    maka :

                           

2.4.    Apabila

                           

                  maka

                          

 2.5.   Apabila

                            

                           

           Dan  PD  :  F (M dx + N dy) = 0 menjadi Eksak.

3.         PD LINEAR ORDE SATU dan Reduksi ke bentuk tersebut.

            3.1.     Bentuk PD Linear Orde Satu :

                               

                               

              Mempunyai Penyelesaian :

                               

          3.2.  PD Bernoulli

          Bentuk dari PD Bernoulli :

                                  

         Bentuk tersebut bisa diubsh menjsdi :

                               

 ::     Selanjutnya dengan substitusi :           didapat :

      

                       

        PD akan menjadi :

                       

                        yang merupakan PD Linear Orde Satu

 

 

II.  PD ORDE SATU DERAJAT TINGGI

  

 2.1.  PD Orde Satu Derajat Tinggi dengan bentuk;

        

(i)    Apabila PD bisa menyelesaikan p,

       PD bisa difaktorkan menjadi

       

        berarti

        

        Sehingga penyelesaian PD :

       

 

(ii)    Apabila PD bisa menyelesaikan y,  berarti

       

         apabila diturunkan terhadap x didapat

        

          didapat penyelesaian

         

          Selanjutnya p dieliminasi dari

         

             Atau : Nyatakan  x dan y  dalam parameter p

 

(iii)     Apabila PD bisa menyelesaikan x,  berarti

         

          Bila diturunkan terhadap y didapat

         

           didapat penyelesaian :

           

           Selanjutnya p di eliminasi dari

          

            Atau  :  Nyatakan x dan y dalam parameter p

 

2.2.   PD LAGRANGE

         Bentuk PD Lagrange :

         

         Turunkan PD Lagrange terhadap x

         

           Penyelesaian PD ini

          

           Didapat penyelesaiannya.

 

2.3. PD  CLAIRAUT

        Bentuk PD Clairaut

        

 Penyelesaian PD ini dengan cara mengganti “p” pada PD Clairaut dengan   “C”.

 Sehingga penyelesaiannya :

                                          

 

III.   PD LINEAR ORDE TINGGI dengan KOEFISIEN KONSTAN.

  

3.1. Bentuk  umum PD Linear Orde Tinggi dengan koefisien konstan : 

 

        

Operator D  :

 

        

 

Beberapa sifat dan contoh penggunaan operator D :

 

                    

  Jadi PD Linear Orde Tinggi dengan koefisien konstan, bila dinyatakan dalam operator D menjadi

 

                        

 

3.2.   PD Linear Homogeen dengan koefisien konstan

Bentuk  :

          

             

Selanjutnya F (D) = 0   disebut Persamaan Karakteristik.

 

               

 Beberapa kemungkinan bentuk dari akar karakteristik.

 

     (i)   :

           

     (ii)  :

           

             dengan  m = m1

    (iii)  :

            

    (iv)  :

            

Bentuk ke (iv)  ini boleh ditulis dalam bentuk lain seperti berikut

 

              

 

3.3.  PD Linear Tidak Homogeen dengan koefisien konstan

 Bentuk  :  

                          

Penyelesaian PD Linear Tidak Homogeen ini mempunyai dua buah penyelesaian,  yaitu

                       

dan              

sehingga didapat Penyeleasaian PD Linear (Tidak Homogeen)  :

                       

 

Penyelesaian homogeen telah dibahas.  Ada beberapa cara untuk mendapatkan Penyelesaian Partyikular.

1.   Mereduksi orde.

       (i).    Merupakan penyelesaian berturutan dari PD Linear Orde Satu.

                

                 

          

       (ii).   Dijadikan Pecahan parsial.

                  

 

2.  Metode Variasi Parameter   .

      Untuk mencari penyelesaian partikular, dibentuk Fungsi L, yaitu dengan jalan mengganti C pada penyelesaian homogeen dengan L(beserta indeksnya) .

      Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:

     (i).    Cari

             

     (ii).  Ganti C pada langkah pertama dengan L sebagai fungsi x (sertakan indeksnya); sebut ini sebagai fungsi L.

     (iii).  Turunkan fungsi L tersebut sampai sebanyak orde dari PD (jadi sampai turunan ke-n)

     (iv).  Pada setiap turunan, jadikan semua suku yang mengandung L’ dengan 0, kecuali turunan terakhir (turunan ke-n) samakan dengan Q.

      (v).  Dari langkah ke-1v didapat n buah persamaan dengan n buah fungsi, yaitu L1′, l2′, …. , Ln’

      (vi).  Dari langkah ke   v  didapat  L1, L2, …. , Ln.

     (vii). Masukkan harga-harga L1, L2, …. , Ln ke dalam fungsi L pada langkah ke-2.   Inilah

                   yang dicari.

 

3.  Metode koefisien Tak Tentu.

      Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

      (i)      Dimisalkan

                                   

                 dengan koefisien tak tentu :  A, B. C, dan seterusnya seperti penjelasan dibawah ini.

      (ii).   Masukkan penyelesaian partikular ini pada langkah pertama ke dalam F (D) y

      (iii). F (D) y pada langkah ke- ii ini identik dengan Q

      (iv).  Akan didapat  A, B, C, dan seterusnya.

      (v).  Masukkan langkah ke-iv ini ke langkah pertama. Inilah

                 yang dicari.

 

Ada beberapa cara dalam menentukan koefisien tak tentu A, B, C, …..

            (1)

                    

          (2)

                  

         (3)

                 

        (4)

                 

       (5)

                 

       (6)

                

      (7)

                 Apabila suku dari Q sebut  u  , juga suku dari penyel. hom yang berasal dari akar karakteristik   m  yang kembar  s  .  maka suku dari   penyel. partikularnya menjadi x pangkat s kali u plus …… 

                

      (8)

                 Apabila suku dari Q adalah x pangkat  r  kali  u  (u adalah suku dari penyel. hom  yang berasal dari akar karakteristik  m  yang kembar  s ,  maka suku dari penyel. partikular menjadi x pangkat (r + s)  kali u plus ……

                            

               

 

4.   Metode Singkat.

       Untuk bentuk-bentuk khusus dari Q bisa penyel. partikular 

                

      dengan metode yang singkat.

     (1).

               

    (2).

                

   (3).

                 

   (4).

              

   (5).

             

(6).

              

(7).

              

                                  

               Apabila  Q = cos ax    atau   Q = sin ax , penyelesaiannya adalah

               berturut-turut Bagian Real atau Bagian Imaginair dari  :

                                  

  

   (8).      Apabila Q adalah polinomial, atau

                

(9).

                

(10).

                

                

 

IV.   PD LINEAR DENGAN KOEFISIEN VARIABEL.

         ( PD  Cauchy   dan  PD  Legendre)

 

4.1.     PD  CAUCHY

           Bentuk  :

                                  

         Penyelesaian  :        dengan substitusi

                                  

                              

               maka  PD akan menjadi  :

 

                             

 

            

4.2.    PD  LEGENDRE

        

          Bentuk :

                         

                         

 

         Penyelesaian  :     dengan substitusi

                      

                         

                         

                    PD akan menjadi  :

   

                           

                                 

                   

RINGKASAN INTEGRAL.

Berikut ini adalah Tabel Integral dan beberapa teknik mengintegralkan.

Disini C adalah sembarang konstanta.

1.   Rumus umum

         

2.  Fungsi Aljabar

       

3.  Fungsi Eksponensial

      

4.  Fungsi Trigonometri

     

5.  Fungsi Trigonometri  (lanjutan)

    

6.  Fungsi Invers Trigonometri

      

7.  Fungsi Hiperbolik

      

8.   Berikut ini adalah rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan dalam menyelesaikan masalah integral.

      

9.  Gunakan Rumus Trigonometri tersebut untuk mencari  

     

10.  Seperti nomor 9.

      

11.  INTEGRAL PARSIAL

      Rumus dari Integral Parsial

         

12.   Hitungan berikut menggunakan integral Parsial dengan cara reduksi

      

13.   Seperti nomor 12.

       

14.  Masih menggunakan integral parsial.

       

15.   Menyelesaikan masalah berikut menggunakan integral parsial,  dengan rumus reduksi

        

16.   SUBSTITUSI TERIGONOMETRI.

         Untuk Integrand dengan bentuk seperti berikut, gunakan substitusi Trigonometri

        

17.  INTEGRAL FUNGSI RASIONAL.

     

       Ubahlah fungsi rasional menjadi pecahan parsial, dengan cara :

      (i)    Apabila g (x) terdiri dari satu suku saja, bagilah  f (x) dengan g (x)

     (ii)  Apabila derajat f (x) lebih besar atau sama dengan derajat derajat g (x), bagilah f (x) dengan g (x) . Sisanya yang dipecah menjadi pecahan parsial.

   (iii)  Selanjutnya faktorkan penyebut, yaitu g (x).

   (iv)  Berikut adalah petunjuk mengubah ke pecahan parsial

        

Catatan untuk  :

                           

          

                     Integral fungsi rasional dengan pembilang adalah turunan penyebut sama dengan ln dari penyebut

            adalah bentuk arctan

             Contoh  :

                       

RINGKASAN DERIVATIF (TURUNAN)

Berikut ini  ditampilkan ringkasan dari Derivatif (atau Turunan)

1.  Tabel turunan fungsi .

      a).  Fungsi aljabar, eksponensial dan logaritma

             b).  Fungsi Trigonometri

           c).  Fungsi Invers Trigonometri

            d).   Fungsi hiperbolik

             e).  Fungsi Invers Hiperbolik.

             2.  Aturan Jumlah, Perkalian, Pembagian.

                 

               3.  Aturan Rantai

                   

              4.  Turunan Fungsi Implisit

                         

                  5.    Turunan Fungsi Invers

                          

                 6.   Turunan fungsi yang dinyatakan dalam parameter t

  

                      

     

                   7.  Catatan