Posted by: paulusharsono | July 28, 2009

PERSAMAAN DIFERENSIAL

RINGKASAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA.

I.    PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Orde Satu Derajat Satu.

      1.   PD yang bisa dipisah peubahnya dan Reduksi ke bentuk tersebut.

       1.1.  PD yang dapat dipisah peubahnya.

  Bentuk Umum  :  M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0  dengan M (x,y) dan N (x,y)  

  bisa difaktorkan atas faktor-faktor yang memuat x saja dan/atau y saja.

           PD1

           Sehingga :

                              PD2

           Dan penyelesaian PD  :

                            RALAT!

        1.2.  PD Homogeen. 

              Cirinya :  M (x,y) dan N (x,y)  homogeen dengan derajat yang sama.

              Penyelesaiannya :  substitusi   y = ux ;       

                                                    maka  dy = u dx + x du     

                                                    Selanjutnya PD bisa dipisah peubahnya.

         1.3.   M dan N adalah linear, tetapi tidak homogeen          

                 Jadi PD  yang berbentuk   : 

                M dx + N dy  = 0 menjadi  (ax +b1 y +c1) dx + (a2 x +b2 y +c2 )dy = 0

                Penyelesaian  :  

 ( i ) Apabila      

                            PD4                      maka substitusi

            PD5

           Selanjutnya PD menjadi :

           P (x,t) dx + Q (x,t) dt = 0  yang dapat dipisah peubahnya

( ii) Apabila     

                         PD6                           

   maka   selesaikan dulu sistem persamaan :  

        a1x + b1y + c1 = 0

      a2x + b2y + c2 = 0

     didapat akar : x = h dan y = k.

          Kemudian  substitusi :

      x = u + h,  maka  dx = du

     y = v + k, maka  dy = dv

Selanjutnya PD menjadi PD Homogeen

1.4.  M berbentuk  y f (xy) dan N berbentuk  x g (xy)

        PD  :   M dx + N dy = 0 menjadi  y f (xy) dx +  x g (xy) dy = 0

       Dengan substitusi z = xy,  maka

                                   PD7

          PD akan menjadi : P(x,z) + Q(x,z) = 0  ;  yang bisa dipisah peubahnya

  2.  PD EKSAK dan reduksi ke bentuk tersebut.

    2.1.     PD Eksak  :  M dx + N dy = 0  dengan ciri :

                                                    PD8

          PD bisa ditulis sebagai :  µ = M dx + N dy = 0,     dengan

                                           PD9

                                          PD10  

            Kedua µ  ini identik;   selanjutnya bisa dicari  k(x)  atau  k(y).

            Kemudian didapat  µ

            Penyelesaian PD :        µ  = C

2.2.  Dengan mengalikan faktor integrasi  F  

          PD yang tidak eksak menjadi Eksak.

          PD  :  M dx + N dy = 0  tidak eksak

                      dan   PD  :  MF dx + FN dy =0 menjadi eksak.

       (i) Apabila

                                 PD11

                   maka  :                      PD12

   (ii)  Apabila

                             PD14

                  maka  :                      PD15

2.3.    Apabila

                             PD16

                    maka :

                            PD17

2.4.    Apabila

                            PD18

                  maka

                           PD19

 2.5.   Apabila

                            pd20

                            PD21

           Dan  PD  :  F (M dx + N dy) = 0 menjadi Eksak.

3.         PD LINEAR ORDE SATU dan Reduksi ke bentuk tersebut.

            3.1.     Bentuk PD Linear Orde Satu :

                               PD22

                                PD23

              Mempunyai Penyelesaian :

                                PD24

          3.2.  PD Bernoulli

          Bentuk dari PD Bernoulli :

                                  PD25

         Bentuk tersebut bisa diubsh menjsdi :

                                PD26

 ::     Selanjutnya dengan substitusi :        PD27   didapat :

      

                        PD28

        PD akan menjadi :

                        PD29

                        yang merupakan PD Linear Orde Satu

 

 

II.  PD ORDE SATU DERAJAT TINGGI

  

 2.1.  PD Orde Satu Derajat Tinggi dengan bentuk;

         PD30

(i)    Apabila PD bisa menyelesaikan p,

       PD bisa difaktorkan menjadi

        PD31

        berarti

        PD32

        Sehingga penyelesaian PD :

        PD33

 

(ii)    Apabila PD bisa menyelesaikan y,  berarti

        PD34

         apabila diturunkan terhadap x didapat

         PD35

          didapat penyelesaian

          PD36

          Selanjutnya p dieliminasi dari

          PD37

             Atau : Nyatakan  x dan y  dalam parameter p

 

(iii)     Apabila PD bisa menyelesaikan x,  berarti

          PD38

          Bila diturunkan terhadap y didapat

          PD39

           didapat penyelesaian :

           PD40

           Selanjutnya p di eliminasi dari

           PD41

            Atau  :  Nyatakan x dan y dalam parameter p

 

2.2.   PD LAGRANGE

         Bentuk PD Lagrange :

         PD47

         Turunkan PD Lagrange terhadap x

          PD43

           Penyelesaian PD ini

           PD44

           Didapat penyelesaiannya.

 

2.3. PD  CLAIRAUT

        Bentuk PD Clairaut

         PD45

 Penyelesaian PD ini dengan cara mengganti “p” pada PD Clairaut dengan   “C”.

 Sehingga penyelesaiannya :

                                           PD46

 

III.   PD LINEAR ORDE TINGGI dengan KOEFISIEN KONSTAN.

  

3.1. Bentuk  umum PD Linear Orde Tinggi dengan koefisien konstan : 

 

         PD50

Operator D  :

 

         PD51

 

Beberapa sifat dan contoh penggunaan operator D :

 

          PD52          

  Jadi PD Linear Orde Tinggi dengan koefisien konstan, bila dinyatakan dalam operator D menjadi

 

          PD53              

 

3.2.   PD Linear Homogeen dengan koefisien konstan

Bentuk  :

          

              PD54

Selanjutnya F (D) = 0   disebut Persamaan Karakteristik.

 

                PD61

 Beberapa kemungkinan bentuk dari akar karakteristik.

 

     (i)   :

            PD56

     (ii)  :

            PD57

             dengan  m = m1

    (iii)  :
             PD58
    (iv)  :
             PD59
Bentuk ke (iv)  ini boleh ditulis dalam bentuk lain seperti berikut
 
               PD60
 
3.3.  PD Linear Tidak Homogeen dengan koefisien konstan
 Bentuk  :  
                           PD62
Penyelesaian PD Linear Tidak Homogeen ini mempunyai dua buah penyelesaian,  yaitu
                        PD63
dan               PD64
sehingga didapat Penyeleasaian PD Linear (Tidak Homogeen)  :
                        PD65
 
Penyelesaian homogeen telah dibahas.  Ada beberapa cara untuk mendapatkan Penyelesaian Partyikular.
1.   Mereduksi orde.
       (i).    Merupakan penyelesaian berturutan dari PD Linear Orde Satu.
                 PD66
                  PD67
          
       (ii).   Dijadikan Pecahan parsial.
                   PD68
 
2.  Metode Variasi Parameter   .
      Untuk mencari penyelesaian partikular, dibentuk Fungsi L, yaitu dengan jalan mengganti C pada penyelesaian homogeen dengan L(beserta indeksnya) .
      Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:
     (i).    Cari
             PD63
     (ii).  Ganti C pada langkah pertama dengan L sebagai fungsi x (sertakan indeksnya); sebut ini sebagai fungsi L.
     (iii).  Turunkan fungsi L tersebut sampai sebanyak orde dari PD (jadi sampai turunan ke-n)
     (iv).  Pada setiap turunan, jadikan semua suku yang mengandung L’ dengan 0, kecuali turunan terakhir (turunan ke-n) samakan dengan Q.
      (v).  Dari langkah ke-1v didapat n buah persamaan dengan n buah fungsi, yaitu L1′, l2′, …. , Ln’
      (vi).  Dari langkah ke   v  didapat  L1, L2, …. , Ln.
     (vii). Masukkan harga-harga L1, L2, …. , Ln ke dalam fungsi L pada langkah ke-2.   Inilah
                PD64   yang dicari.
 
3.  Metode koefisien Tak Tentu.
      Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
      (i)      Dimisalkan
                                    PD64
                 dengan koefisien tak tentu :  A, B. C, dan seterusnya seperti penjelasan dibawah ini.
      (ii).   Masukkan penyelesaian partikular ini pada langkah pertama ke dalam F (D) y
      (iii). F (D) y pada langkah ke- ii ini identik dengan Q
      (iv).  Akan didapat  A, B, C, dan seterusnya.
      (v).  Masukkan langkah ke-iv ini ke langkah pertama. Inilah
               PD64  yang dicari.
 
Ada beberapa cara dalam menentukan koefisien tak tentu A, B, C, …..
            (1)
                     PD70
          (2)
                   PD71
         (3)
                  PD72
        (4)
                  PD73
       (5)
                  PD74
       (6)
                 PD75
      (7)
                 Apabila suku dari Q sebut  u  , juga suku dari penyel. hom yang berasal dari akar karakteristik   m  yang kembar  s  .  maka suku dari   penyel. partikularnya menjadi x pangkat s kali u plus …… 
                 PD76
      (8)
                 Apabila suku dari Q adalah x pangkat  r  kali  u  (u adalah suku dari penyel. hom  yang berasal dari akar karakteristik  m  yang kembar  s ,  maka suku dari penyel. partikular menjadi x pangkat (r + s)  kali u plus ……
                            
                PD77
 
4.   Metode Singkat.
       Untuk bentuk-bentuk khusus dari Q bisa penyel. partikular 
                 PD78
      dengan metode yang singkat.
     (1).
                PD79
    (2).
                 PD80
   (3).
                 PD81
   (4).
               PD82
   (5).
              PD83
(6).
               PD84
(7).
               pd85
                                   pd86
               Apabila  Q = cos ax    atau   Q = sin ax , penyelesaiannya adalah
               berturut-turut Bagian Real atau Bagian Imaginair dari  :
                                   PD87
  
   (8).      Apabila Q adalah polinomial, atau
                 PD88
(9).
                 PD89
(10).
                 PD90
                
 
IV.   PD LINEAR DENGAN KOEFISIEN VARIABEL.
         ( PD  Cauchy   dan  PD  Legendre)
 
4.1.     PD  CAUCHY
           Bentuk  :
                                  PDL1
         Penyelesaian  :        dengan substitusi
                                 PDC2 
                               PDC3
               maka  PD akan menjadi  :
 
                              PDCB2
 
            
4.2.    PD  LEGENDRE
        
          Bentuk :
                         
                          PDC4
 
         Penyelesaian  :     dengan substitusi
                      
                         PDC8
                          PDC6
                    PD akan menjadi  :
   
                            PDCB3
                                 
                   
About these ads

Responses

  1. Sdr. Tamurin yang baik,
    Sebetulnya sudah saya coba untuk menyelesaikannya. Tetapi ada kendala dalam mengintegralkan. Pengin tahu dimana letak kegagalan dalam penyelesaian? Saya tunggu respon anda.
    Paulhars.


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Categories

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: