Posted by: paulusharsono | January 23, 2009

Aneka Untaian Angka

ANGKA DALAM SISTEM DESIMAL

Dalam sistem desimal kita kenal angka-angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9 . Susunan angka-angka tersebut bisa membentuk bilangan. Berbeda dengan hitungan pada umumnya, berikut ini disajikan hitungan dengan untaian angka dari 1 sampai dengan 9 yang menghasilkan 100. Hitungan berikut dilakukan dengan komputer oleh seorang matematikawan yang tertarik pada matematika rekreasi, Madachy:

(7 – 5)^2 + 96 + 8 – 4 – 3 – 1 = 100
3^2 + 91 + 7 + 8 – 6 – 5 – 4 = 100
(akar 9) – 6 + 72 – (1)(3!) – 8 + 45 = 100

Perhatikan pula bentuk kuadrat tanpa menggunakan angka nol seperti susunan Dudeney berikut :

11.826^2 = 139.845.276 (bilangan yang terkecil) dan
30.384^2 = 923.187.456 (bilangan yang terbesar)

Tidak kurang menarik adalah bentuk kuadrat yang diuntai oleh Harry L. Nelson . Seperti susunan Dudeney tetapi Nelson memasukkan angka 0.

32.043^2 = 1.026.753.849 (bilangan yang terkecil) dan
99.066^2 = 9.814.072.356 (bilangan yang terbesar)

Berikut ini sangat menawan karena menggunakan sembilan angka yang berurutan:

1. 123 – 45 – 67 + 89 = 100
2. 123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100
3. 123 + 45 – 67 + 8 – 9 = 100
4. 1 + 2 + 34 – 5 + 67 – 8 + 9 = 100
5. 1 + 23 – 4 + 5 + 6 + 78 – 9 = 100

6. 1 + 23 -4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100
7. 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 89 = 100
8. 12 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 89 = 100
9. 12 + 3 – 4 + 5 + 67+ 8 + 9 = 100
10. 123 – 4 – 5 – 6 – 7 + 8 – 9 = 100

11. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100

12. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
13. (1)(2)(3)(4) + 5 + 6 + (7)(8) + 9 = 100
14. 1 + (23)(4) – 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 100
15. 1 + (23)(4) + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 100

16 (1 + 2 – 3 – 4)(5 – 6 – 7 – 8 – 9) = 100
17. 12 + 3,4 + 5,6 + 7 + (8)(9) = 100
18. 12(3,4 + 5,6) – 7 + 8 – 9 = 100
19. 1^23 + 4 + 5 – 6 + 7 + 89 = 100
20. 1^2345 + 6(7 + 8) + 9 = 100

Hitungan tersebut diatas dan hitungan berikut ini yang merupakan urutan terbalik adalah gubahan Madachy:

1. 98 -76 + 54 + 3 + 21 = 100
2. 9 – 8 + 76 + 54 – 32 + 1 = 100
3. 9 – 8 + 7 + 65 – 4 + 32 – 1 = 100
4. 9 – 8 + 76 – 5 + 4 + 3 + 21 = 100
5. 98 – 7 – 6 – 5 – 4 + 3 + 21 = 100

6. 9 + 8 + 76 + 5 + 4 – 3 + 2 – 1 = 100
7. 9 + 8 + 76 + 5 – 4 + 3 + 2 + 1 = 100
8. 98 + 7 + 6 -5 – 4 – 3 + 2 – 1 = 100
9. 98 + 7 – 6 + 5 – 4 – 3 + 2 + 1 = 100
10. 98 + 7 – 6 + 5 – 4 + 3 – 2 – 1 = 100

11. 98 + 7 – 6 – 5 + 4 + 3 – 2 + 1 = 100
12. 98 – 7 + 6 + 5 + 4 – 3 – 2 – 1 = 100
13. 98 – 7 = 6 + 5 – 4 + 3 – 2 + 1 = 100
14. 98 – 7 + 6 – 5 + 4 + 3 + 2 – 1 = 100
15. 98 – 7 – 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100

16. – 9 + 8 + 7 + 65 – 4 + 32 + 1 = 100
17. – 9 + 8 + 76 + 5 – 4 + 3 + 21 = 100
18. – 9 – 8 + 76 – 5 + 43 + 2 + 1 = 100
19. (akar 9)(8) + 76 +akar(5+4) – 3 ! + 2 + 1 = 100
20. – (akar 9) – 8 + 7 + (6 ! – 5^4 + 3^2)(1) = 100

Catatan : Yang dimaksud dengan 3 ! adalah 3 ! = (3)(2)(1)
dan 6 ! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) sedangkan 5^4 adalah 5 pangkat 4

Berikut ini susunan bilangan yang terdiri dari angka berurutan 1 sampai dengan 9 dengan membuang angka 8.

12345679 X 9 = 111.111.111
12345679 X 18 = 222.222.222
12345679 X 27 = 333.333.333
12345679 X 36 = 444.444.444
12345679 X 45 = 555.555.555
12345679 X 54 = 666.666.666
12345679 X 63 = 777.777.777
12345679 X 72 = 888.888.888
12345679 X 81 = 999.999.999

Sedangkan dalam pembagian :

987654312 : 8 = 123456789

Sebelum dilanjutkan ada beberapa tugas untuk diselesaikan : Bagaimana menyusun 5 buah angka 9 agar menjadi 10 ? Bagaimana pula menyusun untaian angka 8 agar menjadi 1000? Bagaimana kalau menyusun angka 4 agar menjadi 1000? Bagaimana kalau susunan angka ini menjadi 100? Tunggu jawaban diakhir dai tulisan ini.

Berikut ini nampak suatu pola yang sangat menarik :

11 X 11 = 121
111 X 111 = 12321
1111 X 1111 = 1234321
11111 X 11111 = 123454321
111111 X 111111 = 12345654321
1111111 X 1111111 = 1234567654321
11111111 X 11111111 = 123456787654321
111111111 X 111111111 = 12345678987654321

Pola berikut juga tidak kurang menarik dari pada pola diatas :

1 X 9 + 2 = 11
12 X 9 + 3 = 111
123 X 9 + 4 = 1111
1234 X 9 + 5 = 11111
12345 X 9 + 6 = 111111
123456 X 9 + 7 = 1111111
1234567 X 9 + 8 = 11111111
12345678 X 9 + 9 = 111111111
123456789 X 9 + 10 = 1111111111

Jawaban tugas diatas :

9 + 99/99 = 10

888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000

444 + 444 + 44 + 44 + 4 + 4 + 4 +4 + 4 + 4 = 1000

44 + 44 + 4 + 4 + 4 = 100


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Categories

%d bloggers like this: