PERSAMAAN DIFERENSIAL

RINGKASAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA.

I.    PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Orde Satu Derajat Satu.

      1.   PD yang bisa dipisah peubahnya dan Reduksi ke bentuk tersebut.

       1.1.  PD yang dapat dipisah peubahnya.

  Bentuk Umum  :  M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0  dengan M (x,y) dan N (x,y)  

  bisa difaktorkan atas faktor-faktor yang memuat x saja dan/atau y saja.

          

           Sehingga :

                              

           Dan penyelesaian PD  :

                           

        1.2.  PD Homogeen. 

              Cirinya :  M (x,y) dan N (x,y)  homogeen dengan derajat yang sama.

              Penyelesaiannya :  substitusi   y = ux ;       

                                                    maka  dy = u dx + x du     

                                                    Selanjutnya PD bisa dipisah peubahnya.

         1.3.   M dan N adalah linear, tetapi tidak homogeen          

                 Jadi PD  yang berbentuk   : 

                M dx + N dy  = 0 menjadi  (a₁ x +b₁ y +c₁) dx + (a₂ x +b₂ y +c₂ )dy = 0

                Penyelesaian  :  

 ( i ) Apabila      

                                                  maka substitusi

           

           Selanjutnya PD menjadi :

           P (x,t) dx + Q (x,t) dt = 0  yang dapat dipisah peubahnya

( ii) Apabila     

                                                    

   maka   selesaikan dulu sistem persamaan :  

        a₁x + b₁y + c₁ = 0

      a₂x + b₂y + c₂ = 0

     didapat akar : x = h dan y = k.

          Kemudian  substitusi :

      x = u + h,  maka  dx = du

     y = v + k, maka  dy = dv

Selanjutnya PD menjadi PD Homogeen

1.4.  M berbentuk  y f (xy) dan N berbentuk  x g (xy)

        PD  :   M dx + N dy = 0 menjadi  y f (xy) dx +  x g (xy) dy = 0

       Dengan substitusi z = xy,  maka

                                  

          PD akan menjadi : P(x,z) + Q(x,z) = 0  ;  yang bisa dipisah peubahnya

  2.  PD EKSAK dan reduksi ke bentuk tersebut.

    2.1.     PD Eksak  :  M dx + N dy = 0  dengan ciri :

                                                   

          PD bisa ditulis sebagai :  d µ = M dx + N dy = 0,     dengan

                                           

                                            

            Kedua µ  ini identik;   selanjutnya bisa dicari  k(x)  atau  k(y).

            Kemudian didapat  µ

            Penyelesaian PD :        µ  = C

2.2.  Dengan mengalikan faktor integrasi  F  

          PD yang tidak eksak menjadi Eksak.

          PD  :  M dx + N dy = 0  tidak eksak

                      dan   PD  :  MF dx + FN dy =0 menjadi eksak.

       (i) Apabila

                                

                   maka  :                     

   (ii)  Apabila

                             

                  maka  :                      

2.3.    Apabila

                            

                    maka :

                           

2.4.    Apabila

                           

                  maka

                          

 2.5.   Apabila

                            

                           

           Dan  PD  :  F (M dx + N dy) = 0 menjadi Eksak.

3.         PD LINEAR ORDE SATU dan Reduksi ke bentuk tersebut.

            3.1.     Bentuk PD Linear Orde Satu :

                               

                               

              Mempunyai Penyelesaian :

                               

          3.2.  PD Bernoulli

          Bentuk dari PD Bernoulli :

                                  

         Bentuk tersebut bisa diubsh menjsdi :

                               

 ::     Selanjutnya dengan substitusi :           didapat :

      

                       

        PD akan menjadi :

                       

                        yang merupakan PD Linear Orde Satu

 

 

II.  PD ORDE SATU DERAJAT TINGGI

  

 2.1.  PD Orde Satu Derajat Tinggi dengan bentuk;

        

(i)    Apabila PD bisa menyelesaikan p,

       PD bisa difaktorkan menjadi

       

        berarti

        

        Sehingga penyelesaian PD :

       

 

(ii)    Apabila PD bisa menyelesaikan y,  berarti

       

         apabila diturunkan terhadap x didapat

        

          didapat penyelesaian

         

          Selanjutnya p dieliminasi dari

         

             Atau : Nyatakan  x dan y  dalam parameter p

 

(iii)     Apabila PD bisa menyelesaikan x,  berarti

         

          Bila diturunkan terhadap y didapat

         

           didapat penyelesaian :

           

           Selanjutnya p di eliminasi dari

          

            Atau  :  Nyatakan x dan y dalam parameter p

 

2.2.   PD LAGRANGE

         Bentuk PD Lagrange :

         

         Turunkan PD Lagrange terhadap x

         

           Penyelesaian PD ini

          

           Didapat penyelesaiannya.

 

2.3. PD  CLAIRAUT

        Bentuk PD Clairaut

        

 Penyelesaian PD ini dengan cara mengganti “p” pada PD Clairaut dengan   “C”.

 Sehingga penyelesaiannya :

                                          

 

III.   PD LINEAR ORDE TINGGI dengan KOEFISIEN KONSTAN.

  

3.1. Bentuk  umum PD Linear Orde Tinggi dengan koefisien konstan : 

 

        

Operator D  :

 

        

 

Beberapa sifat dan contoh penggunaan operator D :

 

                    

  Jadi PD Linear Orde Tinggi dengan koefisien konstan, bila dinyatakan dalam operator D menjadi

 

                        

 

3.2.   PD Linear Homogeen dengan koefisien konstan

Bentuk  :

          

             

Selanjutnya F (D) = 0   disebut Persamaan Karakteristik.

 

               

 Beberapa kemungkinan bentuk dari akar karakteristik.

 

     (i)   :

           

     (ii)  :

           

             dengan  m = m1

    (iii)  :

            

    (iv)  :

            

Bentuk ke (iv)  ini boleh ditulis dalam bentuk lain seperti berikut

 

              

 

3.3.  PD Linear Tidak Homogeen dengan koefisien konstan

 Bentuk  :  

                          

Penyelesaian PD Linear Tidak Homogeen ini mempunyai dua buah penyelesaian,  yaitu

                       

dan              

sehingga didapat Penyeleasaian PD Linear (Tidak Homogeen)  :

                       

 

Penyelesaian homogeen telah dibahas.  Ada beberapa cara untuk mendapatkan Penyelesaian Partyikular.

1.   Mereduksi orde.

       (i).    Merupakan penyelesaian berturutan dari PD Linear Orde Satu.

                

                 

          

       (ii).   Dijadikan Pecahan parsial.

                  

 

2.  Metode Variasi Parameter   .

      Untuk mencari penyelesaian partikular, dibentuk Fungsi L, yaitu dengan jalan mengganti C pada penyelesaian homogeen dengan L(beserta indeksnya) .

      Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:

     (i).    Cari

             

     (ii).  Ganti C pada langkah pertama dengan L sebagai fungsi x (sertakan indeksnya); sebut ini sebagai fungsi L.

     (iii).  Turunkan fungsi L tersebut sampai sebanyak orde dari PD (jadi sampai turunan ke-n)

     (iv).  Pada setiap turunan, jadikan semua suku yang mengandung L’ dengan 0, kecuali turunan terakhir (turunan ke-n) samakan dengan Q.

      (v).  Dari langkah ke-1v didapat n buah persamaan dengan n buah fungsi, yaitu L1′, l2′, …. , Ln’

      (vi).  Dari langkah ke   v  didapat  L1, L2, …. , Ln.

     (vii). Masukkan harga-harga L1, L2, …. , Ln ke dalam fungsi L pada langkah ke-2.   Inilah

                   yang dicari.

 

3.  Metode koefisien Tak Tentu.

      Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

      (i)      Dimisalkan

                                   

                 dengan koefisien tak tentu :  A, B. C, dan seterusnya seperti penjelasan dibawah ini.

      (ii).   Masukkan penyelesaian partikular ini pada langkah pertama ke dalam F (D) y

      (iii). F (D) y pada langkah ke- ii ini identik dengan Q

      (iv).  Akan didapat  A, B, C, dan seterusnya.

      (v).  Masukkan langkah ke-iv ini ke langkah pertama. Inilah

                 yang dicari.

 

Ada beberapa cara dalam menentukan koefisien tak tentu A, B, C, …..

            (1)

                    

          (2)

                  

         (3)

                 

        (4)

                 

       (5)

                 

       (6)

                

      (7)

                 Apabila suku dari Q sebut  u  , juga suku dari penyel. hom yang berasal dari akar karakteristik   m  yang kembar  s  .  maka suku dari   penyel. partikularnya menjadi x pangkat s kali u plus …… 

                

      (8)

                 Apabila suku dari Q adalah x pangkat  r  kali  u  (u adalah suku dari penyel. hom  yang berasal dari akar karakteristik  m  yang kembar  s ,  maka suku dari penyel. partikular menjadi x pangkat (r + s)  kali u plus ……

                            

               

 

4.   Metode Singkat.

       Untuk bentuk-bentuk khusus dari Q bisa penyel. partikular 

                

      dengan metode yang singkat.

     (1).

               

    (2).

                

   (3).

                 

   (4).

              

   (5).

             

(6).

              

(7).

              

                                  

               Apabila  Q = cos ax    atau   Q = sin ax , penyelesaiannya adalah

               berturut-turut Bagian Real atau Bagian Imaginair dari  :

                                  

  

   (8).      Apabila Q adalah polinomial, atau

                

(9).

                

(10).

                

                

 

IV.   PD LINEAR DENGAN KOEFISIEN VARIABEL.

         ( PD  Cauchy   dan  PD  Legendre)

 

4.1.     PD  CAUCHY

           Bentuk  :

                                  

         Penyelesaian  :        dengan substitusi

                                  

                              

               maka  PD akan menjadi  :

 

                             

 

            

4.2.    PD  LEGENDRE

        

          Bentuk :

                         

                         

 

         Penyelesaian  :     dengan substitusi

                      

                         

                         

                    PD akan menjadi  :